我公共机构的员工，公司没有及时为我办理退休手续，这合法吗？

不合法，公司无权要求退还。依据《劳动合同法》，公司未及时办理退休手续导致你多工作，应支付相应工资及可能的经济补偿，而非退还。不及时处理可能损害你的合法权益，如造成经济损失和精神压力。
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可申请劳动仲裁或诉讼。面对此类纠纷，建议先与公司协商，协商无果则可选择向劳动仲裁委员会提起仲裁，或直接向人民法院提起诉讼，根据具体情况选择最适合的维权途径。
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公司要求不合法。应对方式：1.与公司协商，要求按法律规定处理退休及工资问题；2.若协商无果，收集工作记录、工资单等证据；3.向劳动仲裁委提起仲裁，请求裁决公司支付工资及经济补偿；4.如仲裁不满，可进一步向法院提起诉讼，维护自身权益。